Jul 27, 2007
「フェルマーの最終定理」（サイモン・シン）
むかーしむかし、17世紀のフランスに、フェルマーさんちう数学者がおりました。数学の問題集「算術」って本の隙間に、「ボクもこんな定理を見つけたよん。証明も出来たけど、ここには書ききれないやー」と、いくつかの数学の定理だけを書き残していました。言うたら「答えだけ」書き残してたわけっすね。
後から、その落書き部分が発見されて、いろんな数学者さんが「よっしゃ、その答えが本当かを証明してやろー」と頑張りました。大半は証明できたのでありますが、最後に一個だけ「それ、ほんまに合ってるの？」な問題が残ってしまいまして。
この最後まで残った定理が「フェルマーの最終定理」ってやつなのであります。結局こいつがちゃんと証明されたのは、なんと「1994年」。最近っすよ。360年引っ張ったっちうことで。フェルマーさんったら、人騒がせさんだー。
例えば、「頭の体操（ワタクシこのシリーズ大好き）」みたいなクイズ本を買ってきたとして。問題の次のページに答えだけ書いてあって、「何でその答えなん？」って説明が書いてなかったら気持ち悪いっすよね？それと良く似た話なのであります。
この本は、そんな人騒がせな謎に振り回された数学者さんの歴史を追いかけたもんであります。イギリスのBBCでドキュメント番組にもなってて、これはその番組制作にかかわったサイモンさんが書いた本であります。
なので、「数学の歴史」ちうより「数学者さんの人間ドキュメント」って構成になっておりまして。でも数学苦手な人にも数学の証明の歴史がわかるようになっておりまして。「ちょっと数学できる人」気分まで味わえちゃうのであります。
360年、忘れられてたわけじゃなくて、いろんな人が挑戦し「ここまでは出来たんやけど･･･ c(-｡-,,)c)~」の連続なのがまた凄い。「嘘の定義なんちゃうの？」って意見も「こーゆー場合があるので嘘です」って証明しないと成立しないし、ほんでまた、そんな証明も出ずじまいで謎は深まるばかりっす。
一口に「360年」って言っちゃってますが、紹介されてる数学者さんの背景には「マリー・アントワネット」や「ナポレオン」や「ヒトラー」が登場ー。証明されたのは最近なので、当然最近の背景も背負ってきてます。いやー「世界史ってほんまにあったことなんやー」、ってあたりまえな事も実感できちゃって、そんじょそこらの大河ドラマどころやないことになっておるのでありますよ。
決闘で死んじゃう人もいれば、女やっちゅーことを隠しながら数学やってた人もいるし、日本人も登場してきちゃうし、戦争にからんでる人はドイツ軍の「暗号解読」とかに盛り上がってるし、当然そんなん考えてるだけでは生活できないから、みんないろんな仕事をしながら証明にチャレンジしてるわけですよ。大学でわけわからん講座をわざわざ作って、生徒が誰も来なくなってからその時間を証明にあてるとかね。頭いい人は考えることが違うっすねー。
しかもサイモンさんがまた、そんな人たちの状況を「見てたんかいな」と言いたくなるくらいの密着度で、報告してくれちゃってるわけですよ。いやー、ほんまに見てたんかもかも。360年分。
さて。ワタクシ、そんな「三世紀も引っ張りまわした問題っちうのは、さぞかしややこしい定理なのでしょーなー」と思っておったのですが、これが一目で覚えられる単純なもんなのであります。
「xの2乗 + yの2乗 = zの2乗」ってのが、「ピタゴラスの定理」ってやつっすね。「直角三角形の斜辺の長さを z とし、その他の辺の長さを x, y とした時」、この式が当てはまるってやつです。
これの「2乗」ってのを「3乗」ってすると、もうこの式に当てはまる数がなくなっちゃうぞと。「4乗」「５乗」と増やしていってもないぞっと。
ってなわけで、「フェルマーの最終定理」ってのは
「xのn乗 + yのn乗 = zのn乗」って式にあてはまる自然数 x, y, z (０以外)は存在しない。（nが３以上の自然数の場合）
いやー、言い切ってるよー。「存在しない」やもん。そら「ほんまかい」ってなるよなー。
1816年から賞金とかもかけられたんで、結構素人さんも頑張ってたらしいのですが、最終的に提出されたワイルズさんの証明論文は200ページくらいにもなってたらしくて。そらフェルマーさんも、余白に書けるもんやないっちゅーことっすよね。
数学界では、まだまだ証明されてない定義ってのが、いろいろあるらしくて、この本でも最後にいくつか紹介されてます。こんなんを今日もどっかで誰かが頑張って証明に盛り上がってるのかと思うと、なーんかワクワクするでありますね。
※ サイモン・シンの「暗号解読」も面白かったっす。感想文はこちら
サイモン・シン著「フェルマーの最終定理」を読んで
サイモン・シン著作のドキュメンタリー数学小説『フェルマーの最終定理』（青木薫訳）を読みました。実は読み終えたのはおよそ2ヶ月前だったのですが、なかなか感想を書けずにおりました。それは、文庫本で495頁という大作であること、それから数学とい
フェルマーの最終定理を、エクセルで証明して見よう。
フェルマーの最終定理は、ｎが２より大きい自然数であれば Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しないと言う内容です。ｎ＝2の時、3×3+4×4＝5×5が存在する。しかし、ｎ＝＞3なら数式を満たす自然数はない。エクセルを使って、理由を説明する。シート??のＡ列に1・2・3・4・5・・・27と入力する。Ｂ列にはＡ列を1乗する式（Ｂ1＝Ａ1等）、Ｃ列には2乗する式（Ｃ1＝$Ａ$1×Ｂ1等）、Ｄ列には3乗する式（Ｄ1＝$Ａ$1×Ｃ3等）、・・・・Ｋ列には10乗する式（Ｋ1＝$Ａ$1×Ｊ1等）を入力する。1の1乗から27の10乗までの数値が出た。シート??のＣ列（2乗列）をシート??のＡ列に貼り付ける。Ｂ列はＡ列の前後数値の差を計算する式（Ｂ1＝1 Ｂ2＝Ａ2??Ａ1 Ｂ3＝Ａ3??Ａ2等）を入力する。更に、Ｃ欄にＢ列の前後数値の差を計算する式（Ｃ1＝1 Ｃ2＝Ｂ2??Ｂ1 Ｃ3＝Ｂ3??Ｂ2等 1行目は常に1）を入力する。Ｃ列は1・2・2・2・2・・と2が続く。シート??のＤ列（3乗列）を別シートのＡ列に貼り付ける。Ａ列の差額を求める式をＢ列に、Ｂ列の差額を求める式をＣ列に、Ｃ列の差額を求める式をＤ列に（1行目は常に1）入力する。Ｄ列は1・5・6・6・6・6・・・と以後6が続く。同様に4乗列は差額を求める計算を4回繰り返すと、Ｅ列に1・12・23・24・24・24・・・と24が続く。10乗列は10回繰り返しで1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800・3628800・・と3628800が続く。10乗した数は、この数値（基数とする）を何倍かして足せば表せる。他の乗の場合も同じ。何倍すれば良いか計算する表を、作成する。新シート（累計シート）の1行目は全て1を入力する（Ａ列からＭ列）。2行目は1行目の累計を計算する式（Ａ2＝1 Ｂ2＝ＳＵＭ（＄Ａ1：Ｂ1） Ｃ2＝ＳＵＭ（＄Ａ1：Ｃ1）等Ｍ列まで）を入力する。2行目は1・2・3・4・・13となる。3行目は2行目の累計を計算する式（Ａ3＝1 Ｂ3＝ＳＵＭ（＄Ａ2：Ｂ2） Ｃ3＝ＳＵＭ（＄Ａ2：Ｃ2）等）を入力する。3行目は1・3・6・10・15・21・・・91となる。4行目で3行目の累計を計算すると、1・4・10・20・35・56・・・455となる。11行目は1・11・66・286・・・646646となる。（これ以上はエクセル限界の為使わない）2乗の数値を求める。2乗の場合1と2を何倍かして足す。新シートのＡ1に1を、Ａ2に2を入力する。累計シート2行目（1・2・3・4・・13）をＢ1から貼り付ける。累計シート3行目（1・3・6・10・15・21・・・78）Ｃ2から貼り付ける。例えば、Ｅ列は4を2乗した値です。1×4+2×6＝16＝4×4です。3乗の場合は、Ａ1に1、Ａ2に5、Ａ3に6（3乗の差額を求めたシートより）を入力する。累計シート3行目（1・3・6・・91）をＢ1から、同じく3行目をＣ2から貼り付ける。累計シートの4行目（1・4・10・20・・・286）をＤ3から貼り付ける。例えば、Ｉ列は8を3乗した値です。1×36+5×28+6×56＝512＝8×8×8です。4乗はＡ列に1・12・23・24と入力し、累計シート4行目（1・4・10・20・・・364）をＢ1・Ｃ2・Ｄ3から、5行目（1・5・15・35・・715）をＥ4から貼り付ける。5乗は1・27・93・119・120をＡ列に入力し、累計シートの5行目を、1から119の行に一列づつずらして貼り付ける。120の列には6行目を一列ずらして貼り付ける。ルールは次の乗になると、その乗の差額を求めたシートで同数値が連続する列の値をＡ列に貼り付け、それぞれの行に累計シートの次行を1列づつずらして貼り付け、同数値が連続する数値行には、累計シートの次の行を1列ずらして貼り付けることだ。10乗目のＡ列には上記の1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800を貼り付ける。累計シートの10行目（1・10・55・22・715・・・293930）をＢ1・Ｃ2・Ｄ3・Ｅ4・Ｆ5・Ｇ6・Ｈ7・Ｉ8・Ｊ9から貼り付け、11行目（1・11・66・286）をＫ10から貼り付ける。Ｋ列は10の10乗の数値で1×48620+1014×24310+48854×11440+504046×5005+1814400×2002+3124754×715+3579946×220+3627786×55+3628799×10+3628800×1＝10000000000＝10×10×10×10×10×10×10×10×10×10です。フェルマーの最終定理とは、何列目と何列目かを足せば何列目かになるかである。列は累計シート10行目を逆にした数列で、等差数列では無く、ある列とある列の基数の数を足しても、他列におけるそれぞれの基数の数とはならない。10乗の基数は1・1014・48854・504046・1814400・3124754・3579946・3627786・3628799・3628800である。1+3628799＝1014+3627786＝48854+3579946＝504046+3124754＝1814400+1814400＝3628800となる。端から足して行けば、連続する数値（10乗で言えば3628800）になる。何乗の表でも同じです。列と列の基数の数を足して、足すと連続する数値になる基数同士の数が同じになるなら、全体は連続する数値の倍数となり、フェルマーの最終定理に反する可能性もある。しかし、10乗表の列は累計シートの10行目を逆にした数列となっている。小さい基数の方が多く、全体は3628800の倍数にはならない。では、基数が他の基数の倍数になっている場合は考えられるか。2乗の場合、基数は1と2で全ての基数が倍数の関係にある為、3×3+4×4＝1×3+2×3+1×4+2×6＝1×5+2×10＝5×5となる場合がある。しかし、3乗以上の場合、全ての基数が倍数の関係にある場合はない。従って、ｎが２より大きい自然数であれば Ｘn＋Ｙn＝Ｚnを満たす、自然数Ｘ、Ｙ、Ｚは存在しません。
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